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42:世界的终极答案吗?

42终究是世界的终极隐秘,仍是小说家顺手写下的数字,又或许仅仅科学家练手的玩具?或许实在的状况是,42其实仅仅一个难解的数字,但并不是什么终极答案。

人们总是津津有味于各种未解之谜。从1937年阿米莉亚·埃尔哈特在太平洋上空离奇失踪,到1962年三名罪犯,弗兰克·莫里斯,约翰·安吉林和克拉伦斯·安吉林传奇般地从美国加州的恶魔岛越狱,各种具有神秘色彩的故事充分了群众单调的日子。

当然,这些故事也不仅只来自实在前史。1979年,道格拉斯·亚当斯宣布了他五部系列科幻小说的第一本——《银河系周游攻略》。在这本小说的终究,名为“沉思”的超级核算机提醒了关于“生命,世界以及万事万物”的“终极问题”的答案:“42”。

“沉思”运行了整整750万年才核算出这个成果。但小说中制造出这台超级核算机的外星人令人大失人望,终究单纯一个数字并没有多大用途。不过,“沉思”也独爱外星人,它们提出的问题过分抽象。要找到问题的精确表述,超级核算机需求消耗绵长的时刻,对自己进行版别更新。而核算机的新版别便是地球。感兴趣的读者能够读一读亚当斯的书。

而数字“42”随后便成为了极客文明的根基,引申出了不少典故和打趣。比方你在查找引擎里边输入“一切的答案是什么?”跳出来的答复多半是“42”。用其他言语或是不同的查找引擎,都能得到相同的成果。

从2013年开端,世界各地陆续建起了一系列名为“42网络”的核算机训练校园,这个姓名显着引申自亚当斯的小说。时至今日,兴办“42网络”的公司现已具有超越15个教育基地。而在电影《蜘蛛侠:平行世界》中,相同呈现了各种把戏的“42”。咱们你点进维基百科“42”词条,会发现更多风趣的典故。

实际上,关于42还有许多风趣的偶然,不过这些偶然为什么存在,或许就不得而知了。比方在古埃及神话中,当人身后成为魂灵时需求承受审判,死者需求向42名审判官标明自己没有犯下过42桩罪过中的任何一项。

而在其他的传说中,希腊人打败波斯帝国之后,派使者菲迪皮德斯从马拉松回到雅典,走过的旅程约为42.195公里,现代的马拉松比赛间隔也是取自此处。

吐蕃有42代赞普,其间初代聂赤赞普于约公元前127年即位。末代赞普,也便是第42代赞普朗达玛在位时刻从公元838年开端,完毕于公元842年。而欧洲最早用活字印刷术出书的古腾堡圣经,每页有42行,所以又称为“四十二行圣经”。

本年3月6日,《经济学人》博客宣布文章,留念1978年《银河系周游攻略》系列最早面世的广播剧已达42周年。文章写道:“很少有人会留念42周年”。

许多人都想问,亚当斯的42终究有什么含义?他在线上评论群里简练地答复了这个问题:“这是个打趣。首要,我得找一个简略又矮小的数字,然后我就决定是它了。二进制,十三进制,吐蕃赞普之类的估测全都是空穴来风。我其时就坐在写字台边,盯着花园,想了想,‘42就行了’。然后我就把它打了出来。就这么简略。”

在二进制中,42写作101010,看起来精约又美妙。许多粉丝因此举办了一场集会,时刻就在2010年10月10日。但十三进制下的解说就不那么显着了。你有必要答复“六乘以九得多少?”才干得到头绪,在十三进制下,(4 x 13) + 2 = 54。

除了这些核算机科学家无聊的顺理成章,以及在前史长河中找出来的某些偶然,终究42这个数字在数学上有什么特别之处呢?

数学上的绝无仅有?

42有不少风趣的数学性质。咱们这儿举出几个:2的前三个奇数指数的和:2^1 + 2^3 + 2^5 = 42。咱们把这样的n个奇数次方的和作为一个数列a(n),咱们就得到了数列A105281。。在二进制下,这个数列的每一项其实便是把“10”写n遍(1010 ... 10)。数列的通项公式是 a(n) = (2/3)(4^n – 1)。跟着n增大,数字的密度会趋向于0。也便是说,这个数列里的数,包含42,其实适当地稀有

42仍是6的前两个正次方的和:6^1 + 6^2 = 42。这儿相对应的数列b(n),对应OEIS的A105281,通项公式为b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6。数的密度在无量远处也趋向于0。

42是一个卡塔兰数。这种数也非常稀有,一百万以下的卡塔兰数只需14个,比质数少得多。欧拉其时是为了答复“凸n边形能够分化为多少个三角形”这个问题,才引入了这一概念。数列最初几项为1, 1, 2, 5, 14, 42, 132...能够在OEIS的A000108中找到。通项公式为c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)! )。跟前两个数列相同,数的密度也无限趋近于0.

42也是一个适当“有用”的数字,因为1和42之间的任何整数,比方20,都能够像这样分化为:20=14+6,其间14和6都能够整除42,其他1到42的数也相同,它们都能标明为42的不同因子的和。这样的“有用”数字前几项为:1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72(A005153)。现在咱们还不清楚这个数列的通项公式。

甚是风趣,惋惜这并不能阐明42在数学上有任何共同的含义。它的街坊41和43也具有许多美妙的性质。你只需求在维基百科中查找任何一个数字,就能找到关于它的各种不同性质。

那么咱们怎样才干判别某个数风趣与否呢?我和两名合作伙伴:数学家与心理学家尼古拉斯·高维特,核算学家赫克托·泽尼尔,从前研讨过这个问题。咱们也企图往柯氏复杂性这方面走,但终究成果标明,OEIS中录入的数列其实首要仍是来自人们的喜爱。

三个数的立方和

核算机科学家和数学家们偶然也会对42感兴趣,不过对他们来说,这仅仅闲暇时的小游戏,即便换个数字也能玩。不过,前不久的一则新闻招引了他们的留意。这便是“三立方和”问题,在这个问题中,42比其他100以下的数都更具有挑战性。

这个问题是这样的:怎样判别一个数n能否分化为n = a^3 + b^3 + c^3的方式?又该怎样找到这样的a,b,c?因为abc有或许是负数,所以它们的组合是无量无尽的,不像平方和。平方和分化出来的数绝对值必定小于原数,因此组合是有限的;而且给定一个数,咱们能够必定地判别它能否分化为平方和。

而关于立方和来说,其分化或许会大的离谱,比方156,这个数字的分化是在2007年发现的:156 = 26577110807569^3 + (?18161093358005)^3 + (?23,381515025762)^3

在分化之前,首要要留意到一个问题,那便是,形如9m+4和9m+5的数是无法分化的。

为了阐明找到解有多难,咱们先举两个比方,n=1和n=2。

n=1的时分很简略:1^3 + 1^3 + (–1)^3 = 1

那还有其他分化吗?答案是必定的:9^3 + (–6)^3 + (–8)^3 = 729 + (–216) + (–512) = 1

解还不只这些。1936年,德国数学家库尔特·马勒发现,关于任何p,下面这个式子都建立:(9p^4)^3 + (3p – 9p^4)^3 + (1 – 9p^3)^3 = 1

证明适当简略,只需求用到中学学过的二项式打开:(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

关于n=2,也存在无量多个解。下面的式子是1908年由A. S.韦雷布鲁索夫发现的:(6p^3 + 1)^3 + (1 – 6p^3)^3 + (–6^p2)^3 = 2

只需在上式两头乘上一个彻底立方数(r3),咱们就能得到:关于任何彻底立方数和彻底立方数的两倍,都有无量个解。

比方说16,它是2的 23倍,那么取p=1的话,就有14^3 + (–10)^3 + (–12)^3 = 16

n=3时,咱们已知的解只需两个1^3 + 1^3 + 1^3 = 3; 4^3 + 4^3 + (–5)^3 = 3

那么天然咱们就要问:除了上面现已证明无法分化的数以外,其他数是不是都能分化?

核算机的劳作

为了答复这个问题,数学家开端挨着验证除了9m+4和9m+5以外的数字1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16 ... (A060464)。要是前面这些数字能找到解的话,那这样的分化就很有或许是普遍存在的。

现在为止,脚踏实地的核算机以及核算机网络为这项问题的研讨供给了不少成果。而终究咱们又回到了42。

2009年,两名德国数学家,安德烈亚斯·斯蒂芬·埃尔森汉斯和约格·贾内尔使用了一种由哈佛大学的诺姆·埃尔基斯于2000年提出的办法,对1000以内的n,寻觅一切1014以内的“三立方和”问题中的a,b,c。大多数n都得到了答复,除了33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975。而100以内的,就只需33,42和74。

2016年,桑德·惠斯曼,找到了74的解:(–284650292555885)^3 + (66229832190556)^3 + (28,350105697727)^3

2019年,英国布里斯托大学的安德鲁·布克找到了33的解8866128975287528^3 + (–8778405442862239)^3 + (–2736111468807040)^3

至此,道格拉斯·亚当斯的42现已是100以内仅剩的未解数字。要是解不存在,42可真便是异乎寻常了。不过,核算机还没有抛弃,它们持续寻觅着答案。

答案在2020年总算揭晓,前文说到的布克,以及MIT的安德鲁·萨瑟兰是首要功臣。经过慈悲引擎渠道,使用了可对等于超越一百万小时的核算时刻,总算得到了成果:42 = (–80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

165,795和906也在近来宣告处理。现在1000以下只剩114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975了。

现在看来,除了9m + 4 和9m + 5 以外的一切数字很有或许都存在分化。1992年,牛津大学的罗杰·希思-布朗还提出了一条更强的猜测:他猜测这种分化关于每个数而言都是无量的。不过,现在为止,咱们离证明这些猜测还有很长间隔。

这个问题实在是太难了。一般说来,没有任何算法能够遍历悉数或许。比方说,早在1936年,艾伦·图灵就证明了,没有任何算法能处理悉数电脑程序的停机问题。不过现在问题的范畴,现已到了易于描绘的的纯数学。假设咱们能证明这个问题的不确定性,那也将是向前麦苗的一大步。

42这个数字很难解,但底子就不是终究一步!

42终究是世界的终极隐秘,仍是小说家顺手写下的数字,又或许仅仅科学家练手的玩具?或许实在的状况是,42其实仅仅一个难解的数字,但并不是什么终极答案。

撰文丨Jean-Paul Delahaye

翻译丨张和持

人们总是津津有味于各种未解之谜。从1937年阿米莉亚·埃尔哈特在太平洋上空离奇失踪,到1962年三名罪犯,弗兰克·莫里斯,约翰·安吉林和克拉伦斯·安吉林传奇般地从美国加州的恶魔岛越狱,各种具有神秘色彩的故事充分了群众单调的日子。

当然,这些故事也不仅只来自实在前史。1979年,道格拉斯·亚当斯宣布了他五部系列科幻小说的第一本——《银河系周游攻略》。在这本小说的终究,名为“沉思”的超级核算机提醒了关于“生命,世界以及万事万物”的“终极问题”的答案:“42”。

“沉思”运行了整整750万年才核算出这个成果。但小说中制造出这台超级核算机的外星人令人大失人望,终究单纯一个数字并没有多大用途。不过,“沉思”也独爱外星人,它们提出的问题过分抽象。要找到问题的精确表述,超级核算机需求消耗绵长的时刻,对自己进行版别更新。而核算机的新版别便是地球。感兴趣的读者能够读一读亚当斯的书。

而数字“42”随后便成为了极客文明的根基,引申出了不少典故和打趣。比方你在查找引擎里边输入“一切的答案是什么?”跳出来的答复多半是“42”。用其他言语或是不同的查找引擎,都能得到相同的成果。

从2013年开端,世界各地陆续建起了一系列名为“42网络”的核算机训练校园,这个姓名显着引申自亚当斯的小说。时至今日,兴办“42网络”的公司现已具有超越15个教育基地。而在电影《蜘蛛侠:平行世界》中,相同呈现了各种把戏的“42”。咱们你点进维基百科“42”词条,会发现更多风趣的典故。

实际上,关于42还有许多风趣的偶然,不过这些偶然为什么存在,或许就不得而知了。比方在古埃及神话中,当人身后成为魂灵时需求承受审判,死者需求向42名审判官标明自己没有犯下过42桩罪过中的任何一项。

而在其他的传说中,希腊人打败波斯帝国之后,派使者菲迪皮德斯从马拉松回到雅典,走过的旅程约为42.195公里,现代的马拉松比赛间隔也是取自此处。

吐蕃有42代赞普,其间初代聂赤赞普于约公元前127年即位。末代赞普,也便是第42代赞普朗达玛在位时刻从公元838年开端,完毕于公元842年。而欧洲最早用活字印刷术出书的古腾堡圣经,每页有42行,所以又称为“四十二行圣经”。

本年3月6日,《经济学人》博客宣布文章,留念1978年《银河系周游攻略》系列最早面世的广播剧已达42周年。文章写道:“很少有人会留念42周年”。

许多人都想问,亚当斯的42终究有什么含义?他在线上评论群里简练地答复了这个问题:“这是个打趣。首要,我得找一个简略又矮小的数字,然后我就决定是它了。二进制,十三进制,吐蕃赞普之类的估测全都是空穴来风。我其时就坐在写字台边,盯着花园,想了想,‘42就行了’。然后我就把它打了出来。就这么简略。”

在二进制中,42写作101010,看起来精约又美妙。许多粉丝因此举办了一场集会,时刻就在2010年10月10日。但十三进制下的解说就不那么显着了。你有必要答复“六乘以九得多少?”才干得到头绪,在十三进制下,(4 x 13) + 2 = 54。

除了这些核算机科学家无聊的顺理成章,以及在前史长河中找出来的某些偶然,终究42这个数字在数学上有什么特别之处呢?

数学上的绝无仅有?

42有不少风趣的数学性质。咱们这儿举出几个:2的前三个奇数指数的和:2^1 + 2^3 + 2^5 = 42。咱们把这样的n个奇数次方的和作为一个数列a(n),咱们就得到了数列A105281。。在二进制下,这个数列的每一项其实便是把“10”写n遍(1010 ... 10)。数列的通项公式是 a(n) = (2/3)(4^n – 1)。跟着n增大,数字的密度会趋向于0。也便是说,这个数列里的数,包含42,其实适当地稀有

42仍是6的前两个正次方的和:6^1 + 6^2 = 42。这儿相对应的数列b(n),对应OEIS的A105281,通项公式为b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6。数的密度在无量远处也趋向于0。

42是一个卡塔兰数。这种数也非常稀有,一百万以下的卡塔兰数只需14个,比质数少得多。欧拉其时是为了答复“凸n边形能够分化为多少个三角形”这个问题,才引入了这一概念。数列最初几项为1, 1, 2, 5, 14, 42, 132...能够在OEIS的A000108中找到。通项公式为c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)! )。跟前两个数列相同,数的密度也无限趋近于0.

42也是一个适当“有用”的数字,因为1和42之间的任何整数,比方20,都能够像这样分化为:20=14+6,其间14和6都能够整除42,其他1到42的数也相同,它们都能标明为42的不同因子的和。这样的“有用”数字前几项为:1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72(A005153)。现在咱们还不清楚这个数列的通项公式。

甚是风趣,惋惜这并不能阐明42在数学上有任何共同的含义。它的街坊41和43也具有许多美妙的性质。你只需求在维基百科中查找任何一个数字,就能找到关于它的各种不同性质。

那么咱们怎样才干判别某个数风趣与否呢?我和两名合作伙伴:数学家与心理学家尼古拉斯·高维特,核算学家赫克托·泽尼尔,从前研讨过这个问题。咱们也企图往柯氏复杂性这方面走,但终究成果标明,OEIS中录入的数列其实首要仍是来自人们的喜爱。

三个数的立方和

核算机科学家和数学家们偶然也会对42感兴趣,不过对他们来说,这仅仅闲暇时的小游戏,即便换个数字也能玩。不过,前不久的一则新闻招引了他们的留意。这便是“三立方和”问题,在这个问题中,42比其他100以下的数都更具有挑战性。

这个问题是这样的:怎样判别一个数n能否分化为n = a^3 + b^3 + c^3的方式?又该怎样找到这样的a,b,c?因为abc有或许是负数,所以它们的组合是无量无尽的,不像平方和。平方和分化出来的数绝对值必定小于原数,因此组合是有限的;而且给定一个数,咱们能够必定地判别它能否分化为平方和。

而关于立方和来说,其分化或许会大的离谱,比方156,这个数字的分化是在2007年发现的:156 = 26577110807569^3 + (?18161093358005)^3 + (?23,381515025762)^3

在分化之前,首要要留意到一个问题,那便是,形如9m+4和9m+5的数是无法分化的。

为了阐明找到解有多难,咱们先举两个比方,n=1和n=2。

n=1的时分很简略:1^3 + 1^3 + (–1)^3 = 1

那还有其他分化吗?答案是必定的:9^3 + (–6)^3 + (–8)^3 = 729 + (–216) + (–512) = 1

解还不只这些。1936年,德国数学家库尔特·马勒发现,关于任何p,下面这个式子都建立:(9p^4)^3 + (3p – 9p^4)^3 + (1 – 9p^3)^3 = 1

证明适当简略,只需求用到中学学过的二项式打开:(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

关于n=2,也存在无量多个解。下面的式子是1908年由A. S.韦雷布鲁索夫发现的:(6p^3 + 1)^3 + (1 – 6p^3)^3 + (–6^p2)^3 = 2

只需在上式两头乘上一个彻底立方数(r3),咱们就能得到:关于任何彻底立方数和彻底立方数的两倍,都有无量个解。

比方说16,它是2的 23倍,那么取p=1的话,就有14^3 + (–10)^3 + (–12)^3 = 16

n=3时,咱们已知的解只需两个1^3 + 1^3 + 1^3 = 3; 4^3 + 4^3 + (–5)^3 = 3

那么天然咱们就要问:除了上面现已证明无法分化的数以外,其他数是不是都能分化?

核算机的劳作

为了答复这个问题,数学家开端挨着验证除了9m+4和9m+5以外的数字1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16 ... (A060464)。要是前面这些数字能找到解的话,那这样的分化就很有或许是普遍存在的。

现在为止,脚踏实地的核算机以及核算机网络为这项问题的研讨供给了不少成果。而终究咱们又回到了42。

2009年,两名德国数学家,安德烈亚斯·斯蒂芬·埃尔森汉斯和约格·贾内尔使用了一种由哈佛大学的诺姆·埃尔基斯于2000年提出的办法,对1000以内的n,寻觅一切1014以内的“三立方和”问题中的a,b,c。大多数n都得到了答复,除了33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975。而100以内的,就只需33,42和74。

2016年,桑德·惠斯曼,找到了74的解:(–284650292555885)^3 + (66229832190556)^3 + (28,350105697727)^3

2019年,英国布里斯托大学的安德鲁·布克找到了33的解8866128975287528^3 + (–8778405442862239)^3 + (–2736111468807040)^3

至此,道格拉斯·亚当斯的42现已是100以内仅剩的未解数字。要是解不存在,42可真便是异乎寻常了。不过,核算机还没有抛弃,它们持续寻觅着答案。

答案在2020年总算揭晓,前文说到的布克,以及MIT的安德鲁·萨瑟兰是首要功臣。经过慈悲引擎渠道,使用了可对等于超越一百万小时的核算时刻,总算得到了成果:42 = (–80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

165,795和906也在近来宣告处理。现在1000以下只剩114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975了。

现在看来,除了9m + 4 和9m + 5 以外的一切数字很有或许都存在分化。1992年,牛津大学的罗杰·希思-布朗还提出了一条更强的猜测:他猜测这种分化关于每个数而言都是无量的。不过,现在为止,咱们离证明这些猜测还有很长间隔。

这个问题实在是太难了。一般说来,没有任何算法能够遍历悉数或许。比方说,早在1936年,艾伦·图灵就证明了,没有任何算法能处理悉数电脑程序的停机问题。不过现在问题的范畴,现已到了易于描绘的的纯数学。假设咱们能证明这个问题的不确定性,那也将是向前麦苗的一大步。

42这个数字很难解,但底子就不是终究一步!

撰文丨Jean-Paul Delahaye

翻译丨张和持

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